Модуль: Алгоритм Форда-Беллмана


1. Форд-Беллман: Начало (C++)

☰ Теория

Алгоритм Форда-Беллмана
Пусть дан ориентированный взвешенный граф G с n вершинами и m рёбрами, и указана некоторая стартовая вершина v. Требуется найти длины кратчайших путей от вершины v до всех остальных вершин.

Также как и Дейкстра, алгоритм Форда-Беллмана ищет расстояние от 1 вершины до всех остальных, но работает с отрицательными ребрами.
 
Сам алгоритм Форда-Беллмана представляет из себя несколько фаз (n-1). На каждой фазе просматриваются все рёбра графа, и алгоритм пытается произвести релаксацию вдоль каждого ребра (a, b) стоимости c. Релаксация вдоль ребра — это попытка улучшить значение d[a]  значением d[b] + c. Фактически это значит, что мы пытаемся улучшить ответ для вершины , пользуясь ребром  и текущим ответом для вершины.

Массив d - это массив кратчайших длин от стартовой вершины, также как и в Дейкстре, изначально заполняем максимально большими числами, кроме стартовой вершины, в которой надо поставить 0.
Для хранения ребер используется не матрица смежности или весовая матрица, а список, в котором указывается из какого узла выходит ребро (from), в какое оно приходит (to) и его вес (cost).
  
struct edge {
	int from, to, cost;
};
vector<edge> edges;

Константа INF обозначает число "бесконечность" - её надо подобрать таким образом, чтобы она заведомо превосходила все возможные длины путей.

Простейшая реализация алгоритма: 
d[v] = 0;
  for (int i=0; i<n-1; ++i)
    for (int j=0; j<m; ++j)
      if (d[edges[j].from] < INF)
        d[edges[j].to] = min (d[edges[j].to], d[edges[j].from] + edges[j].cost);

или немного покороче с использованием синтаксиса С++11:
  
d[v] = 0;
for (int i=0; i< n-1; ++i)
  for (edge j: edges)
    if (d[j.from] < INF)
	  d[j.to] = min (d[j.to], d[j.from] + j.cost);

Пример работы


Возьмем простой ориентированный граф  с 5-ю узлами, 4-мя ребрами с весом равным 1.

Введем список ребер именно в таком порядке.
4 5 1
3 4 1
2 3 1
1 2 1

Исходные значения в массиве кратчайших длин:
 
0 inf inf inf inf

где inf - это должно быть такое подобранное целое число, которое бы всегда было больше веса ребра.

После 1-го прохода
 
0 1 inf inf inf

После 2-го прохода
 
0 1 2 inf inf

После 3-го прохода
 
0 1 2 3 inf


После 4-го прохода
 
0 1 2 3 4

Если бы мы подавали ребра в порядке от 1 до последнего, то могли бы найти кратчайшие длины уже после 1-го прохода.

 

Дополните программу, чтобы она верно решала следующую задачу.

Дан ориентированный граф, в котором могут быть кратные ребра и петли. Каждое ребро имеет вес, выражающийся целым числом (возможно, отрицательным). Гарантируется, что циклы отрицательного веса отсутствуют.
Требуется посчитать длины кратчайших путей от вершины номер 1 до всех остальных вершин.
 
Входные данные
Программа получает сначала число N (1 <= N <= 100) – количество вершин графа и число M (0 <= M <= 10000) – количество ребер. В следующих строках идет M троек чисел, описывающих ребра: начало ребра, конец ребра и вес (вес – целое число от -100 до 100).
 
Выходные данные
Программа должна вывести N чисел – расстояния от вершины номер 1 до всех вершин графа. Если пути до соответствующей вершины не существует, вместо длины пути выведите число 30000.
 
Примеры
№ Входные данные Выходные данные
1
6 4
1 2 10
2 3 10
1 3 100
4 5 -10
 0 10 20 30000 30000 30000 
Вставьте недостающие фрагменты кода
C++ 
#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

const int INF = 1e9;

struct edge
{
    int from, to, w;
};

vector <edge> edges;
int d[201];

int main()
{
    int n, m, from, to, w;
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        d[i] = INF;
    }

    for (int i = 0; i < m; i++)
    {
        edge e;
        cin >> e.from >> e.to >> e.w;
        edges.push_back(e);
    }

    d[1] = 0;

    for (int i = 1; i < n; i++)
    {         
    }

    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        if (d[i] == INF)
            cout << 30000 <<" " ;
        else
            cout << d[i] << " ";
    }

    return 0;
}
     

time 1000 ms
memory 32 Mb
Правила оформления программ и список ошибок при автоматической проверке задач

Комментарий учителя

Результат проверки программы 
Для проверки решения задачи необходимо зарегистрироваться или авторизоваться!